Prova de Matemática
IME 2025/2026
Questões objetivas · 1ª Fase · Com resolução comentada
📐 Matemática IME 2025 – 15 Questões com Resolução Comentada
Prepare-se para o concurso do Instituto Militar de Engenharia (IME) com esta compilação completa das 15 questões objetivas de Matemática da primeira fase de 2025/2026.
Os exercícios abrangem Álgebra, Análise Combinatória, Geometria Analítica, Números Complexos, Progressões, Matrizes, Sistemas Lineares e Geometria Espacial. Cada questão conta com uma resolução detalhada e passo a passo.
✅ Teste seus conhecimentos, verifique suas respostas e acompanhe seu desempenho.
Passo 1: Como \(m \in D = (-1,0) \cup (0,1)\), a série geométrica converge para:
\[ f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} a x^{k-1} = \frac{a}{1-x} \]
Passo 2: Calculando \(f(m)\) e \(f(-m)\):
\[ f(m) = \frac{a}{1-m}, \quad f(-m) = \frac{a}{1+m} \]
Passo 3: Numerador: \(f(m) + f(-m) = \frac{a}{1-m} + \frac{a}{1+m} = \frac{2a}{1-m^2}\)
Passo 4: Denominador: \(f(m) \cdot f(-m) = \frac{a^2}{1-m^2}\)
Passo 5: Dividindo: \(\frac{\frac{2a}{1-m^2}}{\frac{a^2}{1-m^2}} = \frac{2}{a}\)
Resposta: D.
Passo 1: Um conjunto \(S\) de \(n\) elementos possui \(n^2\) pares ordenados em \(S \times S\).
Passo 2: Elementos da diagonal \((x,x)\): existem \(n\) pares. Cada um pode pertencer ou não à relação → \(2^n\) possibilidades.
Passo 3: Pares distintos \(\{x,y\}\) com \(x \neq y\): existem \(\frac{n^2-n}{2}\) pares não ordenados.
Passo 4: Para cada par, 3 opções: (i) nenhum; (ii) apenas \((x,y)\); (iii) apenas \((y,x)\). Total: \(3^{\frac{n^2-n}{2}}\).
Passo 5: Multiplicando: \(2^n \cdot 3^{\frac{n^2-n}{2}}\).
Resposta: D.
\[ \left(-\sqrt{3} + i\right)^n = \left(-\sqrt{3} - i\right)^n + 2i \]
Passo 1: Escrevendo na forma trigonométrica:
\[ z_1 = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} = e^{i\frac{5\pi}{6}}, \quad z_2 = \frac{-\sqrt{3} - i}{2} = e^{-i\frac{5\pi}{6}} \]
Passo 2: A equação fica:
\[ e^{i\frac{5n\pi}{6}} - e^{-i\frac{5n\pi}{6}} = 2i \implies 2i \sin\left(\frac{5n\pi}{6}\right) = 2i \]
\[ \sin\left(\frac{5n\pi}{6}\right) = 1 \]
Passo 3: Para \(n=1\): \(\sin(5\pi/6)=1/2\). Para \(n=2\): \(\sin(5\pi/3)=-\sqrt3/2\).
Para \(n=3\): \(\sin(5\pi/2)=\sin(\pi/2)=1\).
Resposta: C (n=3).
Passo 1: \(|\arg(z_3 - z_2)| = \frac{\pi}{2}\) indica que \(z_3 - z_2\) é perpendicular a \(z_1\).
Passo 2: \(|z_3 - z_2| = 5\) e \(|z_1| = 5\).
\[ z_3 - z_2 = \pm i \cdot \frac{z_1}{|z_1|} \cdot 5 = \pm i(3+4i) = \pm(-4+3i) \]
Passo 3: \(z_2 = 12+5i\):
- \(z_3 = (12+5i) + (-4+3i) = 8+8i \implies |z_3|^2 = 128\)
- \(z_3 = (12+5i) - (-4+3i) = 16+2i \implies |z_3|^2 = 260\)
Resposta: C (260).
Passo 1: Coeficientes reais → conjugado também é raiz: \(\overline{w} = -1 - i\sqrt{3}\).
Passo 2: Produto dos fatores: \((x - w)(x - \overline{w}) = x^2 + x + 1\).
Passo 3: Dividindo o polinômio por \(x^2 + x + 1\):
\[ P(x) = (x^2 + x + 1)(x^3 + 6x + 20) \]
Passo 4: \(Q(x) = x^3 + 6x + 20\). \(Q'(x) = 3x^2 + 6 > 0\), logo \(Q\) é estritamente crescente e possui apenas 1 raiz real (\(x=-2\)).
Resposta: D (1 raiz real).
Teorema: Um número \(N\) pode ser escrito como diferença de dois quadrados inteiros \(N = a^2 - b^2\) se, e somente se, \(N \not\equiv 2 \pmod 4\).
- (A) \(2023 \cdot 2024\): 2024 é múltiplo de 4 → \(N \equiv 0 \pmod 4\) (pode)
- (B) \(2023 \cdot 2025\): produto de ímpares → \(N \equiv 1 \pmod 2\) (pode)
- (C) \(2024 \cdot 2025\): 2024 múltiplo de 4 → \(N \equiv 0 \pmod 4\) (pode)
- (D) \(2024 \cdot 2026\): 2024 múltiplo de 4 → \(N \equiv 0 \pmod 4\) (pode)
- (E) \(2025 \cdot 2026\): 2025 ímpar, 2026 ≡ 2 mod 4 → \(N \equiv 2 \pmod 4\) (não pode)
Resposta: E.
Passo 1: Pela desigualdade das médias, o produto \(xyz\) é máximo quando os inteiros são o mais próximo possível de \(\frac{117}{3} = 39\).
Passo 2: Fazendo \(x = y = z = 39\):
\[ 39 \times 39 \times 39 = 39^3 = 59319 \]
Resposta: D (59319).
Passo 1: O número de elementos de cada sequência é igual ao seu índice: \(|S_1| = 1, |S_2| = 2, \dots, |S_n| = n\).
Passo 2: A soma dos elementos de um bloco \(S_k\) construído agrupando os ímpares consecutivos nessa sequência de tamanhos \(1, 2, 3, \dots, k\) é:
\[ \text{Soma}(S_k) = k^3 \]
Passo 3: Para \(k = 2025\):
\[ \text{Soma}(S_{2025}) = 2025^3 \]
Resposta: A.
Passo 1 – Espaço amostral: Escolher 3 vértices entre 8:
\[ \binom{8}{3} = 56 \]
Passo 2 – Casos favoráveis: Cada face do cubo possui 4 vértices. Escolhemos 3 deles:
\[ 6 \times \binom{4}{3} = 6 \times 4 = 24 \]
Passo 3 – Probabilidade:
\[ P = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \]
Resposta: A.
\(A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} x+1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(C = \begin{pmatrix} x+1 & 0 & 0 \\ 0 & x+1 & x \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\),
onde os determinantes de \(A, B, C\) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. A soma de todos os valores possíveis de \(x\) é:
Passo 1 – Determinantes:
\(\det(A) = x + 1\)
\(\det(B) = 2x + 3\)
\(\det(C) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\)
Passo 2 – PA: \(2\det(B) = \det(A) + \det(C)\)
\[ 2(2x+3) = (x+1) + (x^2+2x+1) \]
\[ 4x + 6 = x^2 + 3x + 2 \implies x^2 - x - 4 = 0 \]
Passo 3 – Soma das raízes: \(S = -\frac{b}{a} = 1\).
Resposta: C.
\[ \begin{cases} \sin\theta \cdot x - \cos\theta \cdot y - \sin\theta \cdot z = 2025 \\ \cos\theta \cdot x + \sin\theta \cdot y - \cos\theta \cdot z = 2026 \\ \sin\theta\cos\theta \cdot x + \cos^2\theta \cdot y + \sin\theta\cos\theta \cdot z = 2030 \end{cases} \]
O conjunto de todos os valores de \(\theta\) que tornam o sistema impossível é:
Passo 1: O determinante da matriz dos coeficientes é identicamente nulo para todo \(\theta\).
Passo 2: Multiplicando a 1ª equação por \(\cos\theta\) e somando à 3ª:
\[ \sin(2\theta) x = 2025\cos\theta + 2030 \]
Passo 3: Quando \(\sin(2\theta) = 0 \implies \theta = \frac{k\pi}{2}\), o lado esquerdo zera, mas o direito não, tornando o sistema impossível.
Resposta: C.
\[ A \le \frac{\log_{\sqrt{e}}(x) - 2\ln(\frac{x}{e}) + 6}{3 - |\ln(\frac{1}{x^5})| + \sqrt{\ln(x^4e^2) - 2}}, \text{ para todo } x \in [1, e) \]
onde \(e\) denota o número de Euler, é:
Passo 1: Para \(x \in [1, e)\), temos \(\ln x \in [0, 1)\).
Passo 2 – Numerador:
\[ \log_{\sqrt{e}}(x) = 2\ln x, \quad \ln\left(\frac{x}{e}\right) = \ln x - 1 \]
Numerador: \(2\ln x - 2(\ln x - 1) + 6 = 8\)
Passo 3 – Denominador:
\[ |\ln(\frac{1}{x^5})| = |-5\ln x| = 5\ln x \]
\[ \ln(x^4e^2) - 2 = 4\ln x + 2 - 2 = 4\ln x \]
Denominador: \(3 - 5\ln x + 2\sqrt{\ln x}\)
Passo 4: Fazendo \(t = \sqrt{\ln x} \in [0, 1)\), o denominador é \(g(t) = -5t^2 + 2t + 3\).
Passo 5: Máximo de \(g(t)\) ocorre em \(t_v = \frac{1}{5}\):
\[ g(1/5) = -5/25 + 2/5 + 3 = \frac{16}{5} \]
Passo 6: Valor mínimo da expressão: \(\frac{8}{16/5} = \frac{5}{2}\)
Resposta: A.
Passo 1: Na hipérbole \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\), temos \(a=4\), \(b=3\), \(c=\sqrt{16+9}=5\).
Focos: \(F(5,0)\), \(F'(-5,0)\), \(FF'=10\).
Passo 2: Assíntota positiva: \(3x - 4y = 0\). Distância de \(F(5,0)\) à assíntota: \(d = \frac{|3(5)|}{5} = 3 = b\).
Passo 3: \(T\) é simétrico de \(F\) em relação à assíntota. Então \(FT = 2b = 6\) e \(F'T = 2a = 8\).
Passo 4: Triângulo \(F'TF\) tem lados \(6, 8, 10\) → triângulo retângulo em \(T\).
Passo 5: Raio do círculo inscrito em triângulo retângulo: \(r = \frac{6+8-10}{2} = 2\).
Resposta: A.
Passo 1 – Relação entre \(r\) e \(L\): Por semelhança de triângulos, \(r = \frac{L\sqrt{5}}{2}\).
Passo 2 – Área de interseção: Subtraem-se do quadrado os triângulos recortados:
- Triângulo 1: catetos \(L\) e \(\frac{L}{2}\) → área \(\frac{L^2}{4}\)
- Triângulo 2: catetos \(\frac{L}{5}\) e \(\frac{2L}{5}\) → área \(\frac{L^2}{25}\)
Passo 3 – Equação:
\[ L^2 - \frac{L^2}{4} - \frac{L^2}{25} = 11 \]
\[ \frac{11}{20}L^2 = 11 \implies L^2 = 20 \implies L = 2\sqrt{5} \]
Passo 4 – Cálculo de \(r\):
\[ r = \frac{L\sqrt{5}}{2} = \frac{(2\sqrt{5})\sqrt{5}}{2} = 5 \]
Resposta: C.
Passo 1 – Posicionamento: Octaedro regular centrado na origem:
\[ A = \left(0,0,\frac{a}{\sqrt{2}}\right),\quad F = \left(-\frac{a}{\sqrt{2}},0,0\right),\quad D = \left(0,-\frac{a}{\sqrt{2}},0\right),\quad B = \left(\frac{a}{\sqrt{2}},0,0\right) \]
Passo 2 – Pontos \(M, N, P\):
\[ M = \left(-\frac{2a}{3\sqrt{2}},0,\frac{a}{3\sqrt{2}}\right),\quad N = \left(0,-\frac{2a}{3\sqrt{2}},\frac{a}{3\sqrt{2}}\right),\quad P = \left(\frac{a}{3\sqrt{2}},-\frac{2a}{3\sqrt{2}},0\right) \]
Passo 3 – Vetores:
\[ \vec{NM} = \frac{a}{3\sqrt{2}}(-2,2,0),\quad \vec{NP} = \frac{a}{3\sqrt{2}}(1,0,-1) \]
Passo 4 – Cosseno do ângulo:
\[ \cos\theta = \frac{\vec{NM} \cdot \vec{NP}}{|\vec{NM}| \cdot |\vec{NP}|} = \frac{-2}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \]
\[ \theta = \frac{2\pi}{3} \]
Resposta: D.