Provas Comentadas para Concursos Militares

Gabarito: B) 12

Resolução Detalhada

A função dada é $f(x) = \log_2 x$.

Passo 1: Encontrar as ordenadas ($y$) correspondentes aos pontos de abscissa $x = 2$ e $x = 8$

1. Para $x = 2$:

   $$f(2) = \log_2 2 = 1$$

2. Para $x = 8$:

   $$f(8) = \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3$$

Passo 2: Cálculo da Área da Região Sombreada

A região destacada é uma figura geométrica plana delimitada pelas linhas tracejadas no gráfico. Podemos analisá-la de duas formas equivalentes:

• Interpretação 1: Trapézio limitado entre $x = 2$ e $x = 8$

  • Base menor ($b$): $f(2) = 1$

  • Base maior ($B$): $f(8) = 3$

  • Altura ($h$): $8 - 2 = 6$

  Aplicando a fórmula da área do trapézio:

  $$\text{Área} = \frac{(B + b) \cdot h}{2} = \frac{(3 + 1) \cdot 6}{2} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$$

• Interpretação 2: Triângulo retângulo de base no eixo $x$ de $0$ a $8$

  • Base ($b$): $8 - 0 = 8$

  • Altura ($h$): $f(8) = 3$

  Aplicando a fórmula da área do triângulo:

  $$\text{Área} = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$$

Questão 03

Gabarito: C) 330

Resolução Detalhada

Como as posições reservadas para cada arma estão fixadas em linha (Infantaria, Artilharia, Cavalaria, Engenharia e Comunicações) e os objetos de cada arma são idênticos, a montagem da exposição é definida apenas pela quantidade de objetos em cada uma das 5 seções.

Seja $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ a quantidade de objetos para Infantaria, Artilharia, Cavalaria, Engenharia e Comunicações, respectivamente.

Queremos encontrar o número de soluções da equação:

Com a restrição de que cada categoria deve ter pelo menos 1 objeto ($x_i \ge 1$, com $x_i \in \mathbb{Z}^+$).

Método 1: Mudança de Variável (Combinação Completa / Tracinhos e Pontos)

Como cada uma das 5 armas precisa ter pelo menos 1 objeto, já reservamos 1 para cada uma ($5 \times 1 = 5$ objetos).

Restam $12 - 5 = 7$ objetos para serem distribuídos livremente entre as 5 armas.

Definindo $y_i = x_i - 1$ (onde $y_i \ge 0$), temos:

O número de soluções inteiras não negativas dessa equação é dado pela fórmula da Combinação com Repetição $CR_n^k = \binom{n + k - 1}{k - 1}$, onde $n = 7$ (objetos restantes) e $k = 5$ (categorias):

Calculando a combinação:

Método 2: Método dos Traces e Divisores (Gaps)

Alinhando os $12$ objetos em fila, temos $11$ espaços (intervalos) entre eles:

Para dividir os $12$ objetos em $5$ grupos (garantindo que nenhum grupo fique vazio), precisamos escolher $4$ divisores entre os $11$ espaços disponíveis:

Conclusão

Existem 330 maneiras diferentes de montar a exposição obedecendo às condições dadas.

Questão 04

Gabarito: E) 6 cm

Resolução Detalhada

Passo 1: Determinar as medidas do triângulo equilátero $\Delta DEF$

• O perímetro do triângulo equilátero é $60\text{ cm}$.

• Cada lado mede:

  $$DE = EF = DF = \frac{60}{3} = 20\text{ cm}$$

Seja $M$ o ponto médio do lado $\overline{DE}$. Logo:

• $DM = ME = \frac{20}{2} = 10\text{ cm}$

Passo 2: Identificar a reta e os pontos de interseção

• O segmento de reta parte de $M$ e vai até o ponto $R$, localizado sobre o prolongamento da semirreta $\overrightarrow{EF}$.

• Dado no enunciado: $FR = 15\text{ cm}$.

• Portanto, a distância do ponto $E$ até $R$ sobre a reta $EF$ é:

  $$ER = EF + FR = 20 + 15 = 35\text{ cm}$$

A reta que liga $M$ a $R$ intersecta o lado $\overline{DF}$ em um ponto, que chamaremos de $P$.

Queremos calcular a medida do segmento $\overline{FP}$ (distância de $F$ até a interseção $P$).

Passo 3: Aplicar o Teorema de Menelaus

Analisando o triângulo $\Delta DEF$ cortado pela reta transversal $MPR$ que passa pelos pontos $M$ (em $DE$), $P$ (em $DF$) e $R$ (no prolongamento de $EF$):

Pelo Teorema de Menelaus, a relação entre as razões dos segmentos divididos é dada por:

Substituindo os valores conhecidos:

• $DM = 10$

• $ME = 10$

• $ER = 35$

• $FR = 15$

Passo 4: Calcular a medida de $FP$

Sabendo que $PD = DF - FP = 20 - FP$:

Multiplicando cruzado:

Conclusão

A medida do ponto $F$ até a interseção com o lado $\overline{DF}$ é igual a 6 cm.

Questão 05

Gabarito: B) 16

Resolução Detalhada

Passo 1: Organizar os dados pelo Diagrama de Venn (Regiões)

Vamos calcular a quantidade de alunos em cada interseção exclusiva para determinar quantos gostam de apenas 1 modalidade.

1. Gostam das 3 modalidades ($B \cap F \cap V$):

   $$n(B \cap F \cap V) = 6$$

2. Gostam de Apenas 2 modalidades:

   • Apenas Basquete e Futebol: $16 - 6 = 10$

   • Apenas Basquete e Vôlei: $14 - 6 = 8$

   • Apenas Futebol e Vôlei: $20 - 6 = 14$

3. Gostam de Apenas 1 modalidade:

   • Apenas Basquete: $28 - (10 + 8 + 6) = 28 - 24 = 4$

   • Apenas Futebol: $48 - (10 + 14 + 6) = 48 - 30 = 18$

   • Apenas Vôlei: $32 - (8 + 14 + 6) = 32 - 28 = 4$

Total de alunos que gostam de exatamente 1 modalidade:

Passo 2: Determinar o total de alunos que gostam de ao menos 1 modalidade

Somando todas as regiões do diagrama (União dos conjuntos $B \cup F \cup V$):

Passo 3: Equacionar com o total $x$ e os alunos que não gostam de nenhuma modalidade

Seja $y$ o número de alunos que não manifestaram interesse por nenhuma modalidade (o valor procurado no enunciado).

• O total de alunos pesquisados é $x = 64 + y$.

• A quantidade de alunos que têm preferência por no máximo 1 modalidade é formada por:

  $$\text{(Alunos com 0 modalidades)} + \text{(Alunos com exatamente 1 modalidade)} = y + 26$$

A probabilidade dada na questão é $\frac{21}{40}$:

Substituindo $x = 64 + y$:

Passo 4: Resolver a equação

Multiplicando cruzado:

Conclusão

O número de alunos que não manifestaram interesse por qualquer das modalidades analisadas é igual a 16.

Questão 06

Gabarito: B) 9,96

Resolução Detalhada

Lendo os dados apresentados no gráfico de colunas:

Passo 1: Calcular a Moda (Mo)

A moda é o valor de maior frequência, ou seja, a nota obtida pelo maior número de alunos.

• Observando as colunas do gráfico, a nota 4,0 possui a maior coluna (7 alunos).

• $\text{Moda} = 4,0$

Passo 2: Calcular a Mediana (Md)

A mediana é o valor central que divide o rol de dados ordenados em duas partes iguais.

• Como temos $N = 25$ alunos (um número ímpar), o termo central está na posição:

  $$\text{Posição} = \frac{25 + 1}{2} = 13^{\text{a}} \text{ posição}$$

• Vamos acumular o número de alunos ordem crescente de notas:

  • Notas $1,0$: posições de $1^{\text{a}}$ a $4^{\text{a}}$ (4 alunos)

  • Notas $2,0$: posições de $5^{\text{a}}$ a $10^{\text{a}}$ ($4 + 6 = 10$ alunos)

  • Notas $3,0$: posições de $11^{\text{a}}$ a $15^{\text{a}}$ ($10 + 5 = 15$ alunos)

Como a $13^{\text{a}}$ posição cai no grupo da nota $3,0$:

• $\text{Mediana} = 3,0$

Passo 3: Calcular a Média ($\bar{x}$)

A média aritmética ponderada é dada pela soma do produto de cada nota pelo seu número de alunos, dividida pelo total de alunos ($25$):

Passo 4: Calcular a soma pedido no enunciado

Conclusão

A soma da média, da moda e da mediana é igual a 9,96.

Questão 07

Gabarito: D) $\sqrt{3}$

Resolução Detalhada

Dado o polinômio do $3^{\circ}$ grau:

Seus coeficientes são:

• $A = 2$

• $B = -m$

• $C = 17$

• $D = -6$

As raízes do polinômio são $a$, $b$ e $2$, sendo $a > b$.

Passo 1: Aplicar as Relações de Girard

Pelas Relações de Girard para equações do $3^{\circ}$ grau ($Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$):

1. Produto das três raízes:

   $$a \cdot b \cdot 2 = -\frac{D}{A}$$
   $$2ab = -\frac{-6}{2} \implies 2ab = 3 \implies ab = \frac{3}{2}$$

2. Soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas:

   $$ab + 2a + 2b = \frac{C}{A}$$
   $$ab + 2(a + b) = \frac{17}{2}$$

Passo 2: Determinar a soma $(a + b)$

Substituindo $ab = \frac{3}{2}$ na relação da soma dos produtos duplos:

Passo 3: Encontrar as raízes $a$ e $b$

Temos o sistema de equações com a soma e o produto das raízes:

Montando a equação do segundo grau cujas raízes são $a$ e $b$:

Multiplicando toda a equação por $2$:

Aplicando a fórmula de Bhaskara:

• $x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{12}{4} = 3$

• $x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

Como o enunciado especifica que $a > b$, temos:

• $a = 3$

• $b = \dfrac{1}{2}$

Passo 4: Calcular $a^b$

Conclusão

O valor de $a^b$ é igual a $\sqrt{3}$.

Questão 08

Gabarito: E) $288\pi\text{ cm}^3$

Resolução Detalhada

Passo 1: Calcular o volume de água deslocado no cilindro

O volume de água que sobe no cilindro corresponde exatamente à soma dos volumes das três esferas submergidas ($V_{\text{deslocado}} = V_{E_1} + V_{E_2} + V_{E_3}$).

A variação de altura da água é $\Delta h = 6,57\text{ cm}$ e o raio da base do cilindro é $R = 20\text{ cm}$.

Using a fórmula do volume do cilindro ($V = \pi R^2 \cdot h$):

Passo 2: Expressar os raios e volumes em função da P.G.

Como os raios das esferas $E_1, E_2$ e $E_3$ formam uma Progressão Geométrica de razão $q$, e dado que o raio $r_1 = 3\text{ cm}$:

• $r_1 = 3\text{ cm}$

• $r_2 = 3q$

• $r_3 = 3q^2$

O volume de uma esfera é dado por $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Calculando o volume de cada uma:

• Esfera $E_1$:

  $$V_{E_1} = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi (27) = 36\pi\text{ cm}^3$$

• Esfera $E_2$:

  $$V_{E_2} = \frac{4}{3}\pi (3q)^3 = \frac{4}{3}\pi (27q^3) = 36\pi q^3\text{ cm}^3$$

• Esfera $E_3$:

  $$V_{E_3} = \frac{4}{3}\pi (3q^2)^3 = \frac{4}{3}\pi (27q^6) = 36\pi q^6\text{ cm}^3$$

Passo 3: Equacionar e resolver a P.G.

A soma dos volumes das três esferas é igual ao volume deslocado:

Dividindo toda a equação por $36\pi$:

Fazendo a substituição $y = q^3$:

Fatorando a equação do $2^\circ$ grau:

Como $y = q^3$ representa o cubo da razão de medidas reais positivas, devemos descartar o valor negativo ($y = -9$). Portanto:

Passo 4: Calcular o volume da esfera $E_2$

Como $V_{E_2} = 36\pi q^3$ e já sabemos que $q^3 = 8$:

Conclusão

O volume da esfera $E_2$ é igual a $288\pi\text{ cm}^3$.

Questão 09

Gabarito: A) $\dfrac{a^2 \operatorname{sen}\alpha \cdot \operatorname{sen}\beta}{2\operatorname{sen}(\alpha+\beta)}$

Resolução Detalhada

No triângulo $\Delta ABC$, temos os seguintes dados fornecidos pelo enunciado:

• Ângulo $C\hat{A}B = \alpha$

• Ângulo $C\hat{B}A = \beta$

• Lado $AB = a$

Passo 1: Determinar o terceiro ângulo ($\hat{C}$)

Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é $180^\circ$, o ângulo no vértice $C$ é:

Pela propriedade dos arcos suplementares, o seno deste ângulo é:

Passo 2: Aplicar a Lei dos Senos para determinar outro lado

Vamos encontrar a medida do lado $AC$ (que chamaremos de $b$) aplicando a Lei dos Senos:

Isolando $AC$:

Passo 3: Calcular a área do triângulo $\Delta ABC$

A área ($S$) de um triângulo sabendo dois lados e o ângulo entre eles é dada por:

Substituindo os valores conhecidos ($AB = a$, $C\hat{A}B = \alpha$ e a expressão obtida para $AC$):

Multiplicando os termos do numerador e do denominador:

Conclusão

A área do terreno triangular encontrada pelo comandante é igual a $\dfrac{a^2 \operatorname{sen}\alpha \cdot \operatorname{sen}\beta}{2\operatorname{sen}(\alpha+\beta)}$.

Aqui está o gabarito comentado detalhado da Questão 10:

Questão 10

Gabarito: C) As retas $\overleftrightarrow{BC}$ e $\overleftrightarrow{EF}$ são ortogonais.

Análise Detalhada das Alternativas

• A) Incorreta.

  As retas $\overleftrightarrow{BE}$ e $\overleftrightarrow{FG}$ são reversas (não pertencem ao mesmo plano). A reta $\overleftrightarrow{BE}$ está contida na face $ABFE$, enquanto o ponto $G$ não pertence a essa face, fazendo com que a reta $\overleftrightarrow{FG}$ cruze o plano de $ABFE$ no ponto $F$, que não pertence à reta $\overleftrightarrow{BE}$.

• B) Incorreta.

  Pelo postulado fundamental da geometria espacial, três pontos não colineares determinam um único plano. Como os vértices $A$, $B$ e $G$ formam os vértices de um triângulo (não estão alinhados em uma mesma reta), eles definem sim um plano.

• C) CORRETA.

  No paralelepípedo retângulo:

  1. A aresta $\overline{BC}$ é perpendicular à aresta $\overline{AB}$ ($\overline{BC} \perp \overline{AB}$).

  2. A aresta $\overline{EF}$ é paralela à aresta $\overline{AB}$ ($\overleftrightarrow{EF} \parallel \overleftrightarrow{AB}$).

  Como a reta $\overleftrightarrow{BC}$ é perpendicular a uma reta paralela a $\overleftrightarrow{EF}$, o ângulo entre as direções de $\overleftrightarrow{BC}$ e $\overleftrightarrow{EF}$ é igual a $90^\circ$. Por serem retas sem ponto em comum (não coplanares) que formam ângulo reto, elas são classificadas como ortogonais.

• D) Incorreta.

  As retas $\overleftrightarrow{AE}$ e $\overleftrightarrow{BF}$ contêm arestas opostas da face $ABFE$. Portanto, são paralelas e coplanares (não são reversas).

• E) Incorreta.

  Os três pontos $E$, $H$ e $G$ pertencem à face posterior do paralelepípedo ($EFGH$). O ponto $C$ pertence à face anterior ($ABCD$). Como $C$ não pertence ao plano que contém $E$, $H$ e $G$, os quatro pontos não são coplanares.