Questão: Um fazendeiro deseja construir um curral retangular aproveitando um muro já existente como um dos seus lados. Dispondo de 400 metros de cerca para os outros três lados, determine a razão entre as dimensões do retângulo para que a área seja máxima.
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1) Montando a Equação do Perímetro da Cerca:
Como um dos lados é o muro, utilizaremos a cerca para os outros três lados (dois lados \(y\) e um lado \(x\)):
$$2y + x = 400 \Rightarrow y = \frac{400 - x}{2}$$
2) Função da Área:
A área \(z\) do retângulo é dada pelo produto dos lados:
$$z = x \cdot y \Rightarrow z = x \left(\frac{400 - x}{2}\right)$$
$$z = -\frac{x^2}{2} + 200x$$
3) Encontrando o Ponto Máximo (Vértice da Parábola):
Como o coeficiente \(a = -\frac{1}{2} < 0\), a parábola tem concavidade voltada para baixo, possuindo um ponto de máximo no vértice:
$$x_v = -\frac{b}{2a} \Rightarrow x = -\frac{200}{2(-\frac{1}{2})} = 200$$
Substituindo o valor de \(x\) para encontrar \(y\):
$$y = \frac{400 - 200}{2} = 100$$
4) Conclusão (Razão entre os lados):
A razão entre as dimensões para a área máxima será:
$$\frac{x}{y} = \frac{200}{100} = 2 \quad \text{ou} \quad \frac{y}{x} = \frac{100}{200} = \frac{1}{2}$$