Conjuntos Numéricos
35 Exercícios Resolvidos
N, Z, Q, R — Teoria e exercícios
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
- Naturais ($\mathbb{N}$): $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$
- Inteiros ($\mathbb{Z}$): $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$
- Racionais ($\mathbb{Q}$): $\left\{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*\right\}$
- Reais ($\mathbb{R}$): racionais + irracionais
a) $0 \in \mathbb{N}$ b) $(2-3) \in \mathbb{N}$ c) $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ d) $\mathbb{N} \cup \mathbb{Z}_- = \mathbb{Z}$ e) $\mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{Z}_- = \varnothing$ f) $(-3)^2 \in \mathbb{Z}_-$ g) $(-4) \cdot (-5) \in \mathbb{Z}_+$ h) $0 \in \mathbb{Z}_-$ i) $(5-11) \in \mathbb{Z}$
- a) V
- b) F ($-1 \notin \mathbb{N}$)
- c) V
- d) V
- e) F ($\mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{Z}_- = \{0\}$)
- f) F ($9 \in \mathbb{Z}_+$)
- g) V
- h) F
- i) V
Verdadeiras: a, c, d, g, i.
$\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$, $-3 \in \mathbb{Z}$, $\sqrt{2} \in \mathbb{I}$, $0,333\dots \in \mathbb{Q}$, $\pi \in \mathbb{I}$, $\sqrt{4}=2 \in \mathbb{N}$.
a) $0,4$ b) $0,444\dots$ c) $0,32$ d) $0,323232\dots$ e) $54,2$ f) $5,423423423\dots$
$0,4 = \frac{2}{5}$; $0,444\dots = \frac{4}{9}$; $0,32 = \frac{8}{25}$; $0,323232\dots = \frac{32}{99}$; $54,2 = \frac{271}{5}$; $5,423423\dots = 5 + \frac{423}{999} = \frac{602}{111}$.
Quanto mais próximo de 1, maior a fração. Ordem: $\frac{2}{3} < \frac{11}{12} < \frac{15}{16} < \frac{18}{19} < \frac{47}{48} < 1$.
A média aritmética de dois racionais é racional e está entre eles.
Todo racional é representado exatamente na reta orientada.
Numerador: $0,14 - 0,04 = 0,10$. Denominador: $0,10$. Resultado $= 1$.
$\frac{1}{40} = 0,025$.
$x=1,4111\dots \Rightarrow 10x - x = 12,7 \Rightarrow x = \frac{127}{90}$.
Renda total: $1,2 \times 10^{12}$. População: $7 \times 10^7$. $\frac{1,2}{7} \times 10^5 \approx 17142,86$.
$V' = \frac{V}{1,25} = 0,8V$, redução de 20%.
$(1+\sqrt{3})^2 = 4+2\sqrt{3}$. Ambos positivos.
$\frac{x+y}{2} - \sqrt{xy} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2} \ge 0$.
Supondo $\frac{a}{b}$ irredutível. $a^2=2b^2 \Rightarrow a$ par $\Rightarrow a=2k \Rightarrow b^2=2k^2 \Rightarrow b$ par. Contradição.
$x + \frac{1}{x} = r \Rightarrow x^2 - rx + 1=0$. Para $r=1$, $\Delta = -3 < 0$, sem solução real. (Observação: $-1$ e $0$ também falham, mas o gabarito do manual indica $1$).
a) $\{x \in \mathbb{R} \mid 1 \le x \le 2\}$
b) $\{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 3\}$
c) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0 \text{ ou } x > 2\}$
d) $\{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 0 \text{ ou } x \ge 3\}$
Análise:
- a) $[1,2]$ – intervalo fechado.
- b) $(0,3)$ – intervalo aberto.
- c) $(-\infty, 0] \cup (2, \infty)$ – união de intervalos.
- d) $(-1,0) \cup [3, \infty)$ – união de intervalos.
Resposta: D.
a) $[-1, 3]$
b) $[0, 2[$
c) $]-3, 4[$
d) $]-\infty, 5[$
e) $[1, +\infty[$
Resposta: A.
Passo 1: $A = [0, 3]$, $B = [1, 4]$.
Passo 2: $A \cap B = [1, 3]$ (interseção dos intervalos).
Passo 3: $A \cup B = [0, 4]$ (união).
Resposta: D.
a) $[0, 2] \cap [1, 3]$
b) $[0, 2] \cap 1, 3[$
c) $1, 2 \cap 0, 4$
d) $]-\infty, 2] \cap [0, +\infty[$
e) $[-1, +\infty[ \cap [-\frac{9}{2}, 2[$
Passo 1: a) $[0, 2] \cap [1, 3] = [1, 2]$.
Passo 2: b) $[0, 2] \cap ]1, 3[ = [1, 2]$.
Passo 3: c) $]1, 2[ \cap [0, 4] = ]1, 2[$.
Passo 4: d) $]-\infty, 2] \cap [0, +\infty[ = [0, 2]$.
Passo 5: e) $[-1, +\infty[ \cap [-\frac{9}{2}, 2[ = [-1, 2[$.
Resposta: C.
Passo 1: $\mathbb{R} \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$.
Passo 2: $(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}) \cup \mathbb{Q} = \mathbb{N} \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$.
Passo 3: $\mathbb{N} \cup (\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q}) = \mathbb{N} \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$.
Resposta: B.
Passo 1: $A = (-1, 3]$, $B = (2, 5]$.
Passo 2: $A \cup B = (-1, 5]$.
Resposta: D.
$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$.
Passo 1 (Base): Para $n=1$, $1 = \frac{1(2)}{2} = 1$. Verdadeiro.
Passo 2 (Hipótese): Suponha que para $n=k$ seja verdadeiro: $1+2+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}$.
Passo 3 (Passo indutivo): Somando $(k+1)$ a ambos os lados: $1+2+\dots+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
Portanto, a fórmula vale para todo $n \in \mathbb{N}^*$.
Resposta: B.
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\forall n \in \mathbb{N}^*$.
Passo 1 (Base): Para $n=1$, $1^2 = 1 = \frac{1(2)(3)}{6} = 1$. Verdadeiro.
Passo 2 (Hipótese): Suponha para $k$: $\sum_{i=1}^k i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.
Passo 3 (Passo): $\sum_{i=1}^{k+1} i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.
Resposta: A.
Passo 1 (Base): Para $n=0$, $0 \cdot 1 \cdot 2 = 0$, divisível por 6.
Passo 2 (Hipótese): Suponha $6 \mid k(k+1)(k+2)$.
Passo 3 (Passo): $(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)$. Como $6 \mid k(k+1)(k+2)$ e $6 \mid 3(k+1)(k+2)$ (pois $(k+1)(k+2)$ é par, logo $3 \cdot \text{par}$ é múltiplo de 6), a soma é divisível por 6.
Resposta: D.
Passo 1 (Base): Para $n=1$, $1 = 1^2$. Verdadeiro.
Passo 2 (Hipótese): Suponha $1+3+5+\dots+(2k-1) = k^2$.
Passo 3 (Passo): Somando o próximo ímpar: $(2k+1)$: $k^2 + 2k+1 = (k+1)^2$.
Resposta: B.
$D(6)=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}$; $D(-18)=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm9,\pm18\}$; $D(-24)=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\}$; $D(16)=\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm16\}$; interseção = {±1,±2,±4,±8}.
Primos: -13, 5, 31, 2, 53. Não primos: 12, 0, -1, -4, 1, 49.
mdc(2,3)=1; mdc(-4,6)=2; mdc(-6,-14)=2; mmc(2,3)=6; mmc(-4,6)=12; mmc(-6,-14)=42.
1 está em D(a) e D(b), então não são disjuntos. $m$ é um máximo divisor comum (mdc).
$D(a)\cap D(b)=\{\pm1\}$ ⇒ a e b são primos entre si. $M(a)\subset M(b)$ ⇒ todo múltiplo de a é múltiplo de b ⇒ $a$ é múltiplo de $b$.
$M(a)\cap M(b)$ é o conjunto dos múltiplos comuns, cujo gerador é o mmc.
mdc(2,3)=1; mdc(-4,6)=2; mdc(-6,-14)=2; mmc(2,3)=6; mmc(-4,6)=12; mmc(-6,-14)=42.
Do manual: verdadeiras: a, b, c, d, e, f, h, k, l.
Quanto mais próximo de 1, maior.
A média aritmética.