Teoria dos Conjuntos
50 Exercícios Resolvidos
Do básico ao avançado – com resoluções passo a passo
Um conjunto é uma coleção de elementos que possuem uma característica em comum. A pertinência é a relação entre um elemento e um conjunto: $x \in A$ significa que $x$ pertence ao conjunto $A$.
- União ($A \cup B$): elementos que pertencem a $A$ ou a $B$.
- Interseção ($A \cap B$): elementos que pertencem a $A$ e a $B$.
- Diferença ($A - B$): elementos que pertencem a $A$, mas não a $B$.
- Cardinalidade: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
Passo 1: A união de dois conjuntos é o conjunto de todos os elementos que pertencem a $A$ ou a $B$.
Passo 2: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ e $B = \{3, 4, 5, 6\}$.
Passo 3: Juntando todos os elementos, temos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Resposta: C.
Passo 1: A interseção de dois conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem a $A$ e a $B$.
Passo 2: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ e $B = \{3, 4, 5, 6\}$.
Passo 3: Os elementos comuns são $3$ e $4$.
Resposta: B.
Passo 1: A diferença $A - B$ é o conjunto dos elementos de $A$ que não pertencem a $B$.
Passo 2: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6, 7\}$.
Passo 3: Removendo de $A$ os elementos $4$ e $5$, sobra $\{1, 2, 3\}$.
Resposta: D.
Passo 1: $\mathbb{N}$ é o conjunto dos números naturais ($1, 2, 3, 4, 5, \dots$).
Passo 2: A condição $2 < x < 6$ significa $x > 2$ e $x < 6$.
Passo 3: Os números naturais entre 2 e 6 (exclusive) são $3, 4, 5$.
Resposta: A.
Passo 1: $A \subset B$ significa que todo elemento de $A$ está em $B$.
Passo 2: $B \subset C$ significa que todo elemento de $B$ está em $C$.
Passo 3: Portanto, todo elemento de $A$ está em $C$, ou seja, $A \subset C$.
Resposta: B.
Passo 1: $A \cup B$ = todos os elementos de $A$ ou $B$ = $\{a, b, c, d, e, f, g\}$.
Passo 2: $A \cap B$ = elementos comuns = $\{c, d\}$.
Resposta: A.
Passo 1: $A - B$ = elementos de $A$ que não estão em $B$ = $\{1, 3, 5\}$.
Passo 2: $B - A$ = elementos de $B$ que não estão em $A$ = $\{6, 8\}$.
Resposta: A.
Passo 1: $n(I \cup F) = n(I) + n(F) - n(I \cap F)$.
Passo 2: $n(I \cup F) = 221 + 163 - 52 = 332$.
Resposta: C.
Passo 1: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
Passo 2: $n(A \cup B) = 4 + 5 - 3 = 6$.
Resposta: A.
Passo 1: O conjunto das partes $P(A)$ é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$.
Passo 2: $A$ tem 4 elementos, então $P(A)$ tem $2^4 = 16$ elementos.
Passo 3: A alternativa E lista todos os 16 subconjuntos corretamente.
Resposta: E.
Passo 1: Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem elementos em comum.
Passo 2: Isso significa que $A \cap B = \varnothing$.
Resposta: A.
Passo 1: $A$ é o conjunto dos números pares, $B$ é o conjunto dos múltiplos de 3.
Passo 2: A interseção $A \cap B$ é o conjunto dos números que são pares e múltiplos de 3, ou seja, múltiplos de 6.
Resposta: C.
Passo 1: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$.
Passo 2: $(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{3, 4, 5\} = \{3, 4\}$.
Resposta: B.
Passo 1: O número de subconjuntos de um conjunto com $n$ elementos é $2^n$.
Passo 2: Para $n = 5$, temos $2^5 = 32$.
Resposta: A.
Passo 1: $x \in \mathbb{Z}$ e $-3 < x < 2$.
Passo 2: Os inteiros estritamente entre -3 e 2 são $-2, -1, 0, 1$.
Resposta: B.
Passo 1: $A \cap B = \{2, 4\}$.
Passo 2: $(A \cap B) \cup C = \{2, 4\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Resposta: C.
Passo 1: Total de subconjuntos de um conjunto com 3 elementos: $2^3 = 8$.
Passo 2: Subconjuntos próprios não vazios: exclui-se o vazio ($\varnothing$) e o próprio conjunto $A$.
Passo 3: $8 - 2 = 6$.
Resposta: A.
Passo 1: $A - B = \{1, 2, 3\} - \{2, 3, 4\} = \{1\}$.
Passo 2: $(A - B) \cap C = \{1\} \cap \{1, 3, 5\} = \{1\}$.
Resposta: A.
Passo 1: $A \subset B$ e $B \subset A$ implica que $A$ e $B$ têm os mesmos elementos.
Passo 2: Portanto, $A = B$.
Resposta: B.
Passo 1: O complementar de $A$ em $U$ é $U - A$.
Passo 2: $U - A = \{1, 2, 3, 4, 5\} - \{1, 3, 5\} = \{2, 4\}$.
Resposta: C.
Passo 1: $A \subset B$, então $A \cap B = A = \{a, b, c\}$.
Resposta: B.
Passo 1: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
Passo 2: $n(A \cup B) = 10 + 8 - 3 = 15$.
Resposta: A.
Passo 1: $A = (-1, 3)$ e $B = (1, 5)$.
Passo 2: $A \cap B = (1, 3)$.
Resposta: D.
Passo 1: $A \triangle B = (A - B) \cup (B - A)$.
Passo 2: $A - B = \{1\}$, $B - A = \{4, 5\}$.
Passo 3: $A \triangle B = \{1\} \cup \{4, 5\} = \{1, 4, 5\}$.
Resposta: D.
Passo 1: Os divisores positivos de 12 são $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
Resposta: B.
Passo 1: $A \cap B = \{2, 3\}$, $B \cap C = \{3, 4\}$.
Passo 2: $(A \cap B) \cup (B \cap C) = \{2, 3\} \cup \{3, 4\} = \{2, 3, 4\}$.
Resposta: B.
Passo 1: $A \cup B = A$ implica que todos os elementos de $B$ estão em $A$.
Passo 2: Portanto, $B \subset A$.
Resposta: A.
Passo 1: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$.
Passo 2: $(A \cup B) - C = \{1, 2, 3, 4, 6\} - \{1, 3, 5\} = \{2, 4, 6\}$.
Resposta: B.
Passo 1: $n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)$.
Passo 2: $n(A - B) = 7 - 2 = 5$.
Resposta: B.
Passo 1: Múltiplos positivos de 3: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, \dots$
Passo 2: Menores que 20: $3, 6, 9, 12, 15, 18$.
Resposta: A.
Passo 1: Os inteiros $x$ tais que $-2 \le x < 4$ são $-2, -1, 0, 1, 2, 3$.
Passo 2: São 6 elementos.
Resposta: C.
Passo 1: $A \cap B = \{2, 4\}$.
Passo 2: $(A \cap B) \cap C = \{2, 4\} \cap \{1, 2, 3\} = \{2\}$.
Resposta: B.
Passo 1: De $\{a, b, c, d\} \cup X = \{a, b, c, d, e\}$, $e \in X$.
Passo 2: De $\{c, d\} \cup X = \{a, c, d, e\}$, $a \in X$.
Passo 3: De $\{b, c, d\} \cap X = \{c\}$, $c \in X$ e $b, d \notin X$.
Passo 4: Portanto, $X = \{a, c, e\}$.
Resposta: A.
Passo 1: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, então $9, 10 \in C$.
Passo 2: $B \cap C = \{2, 5, 6\}$, $A \cap C = \{2, 7\}$.
Passo 3: $C = \{2, 5, 6, 7, 9, 10\}$.
Resposta: A.
Passo 1: $X$ deve conter $\{1, 2\}$ e estar contido em $\{1, 2, 3, 4\}$.
Passo 2: $X$ pode ser formado por $\{1, 2\}$ mais qualquer subconjunto de $\{3, 4\}$.
Passo 3: $\{3, 4\}$ tem $2^2 = 4$ subconjuntos.
Resposta: C.
a) $A \cap B \cap C$
b) $A \cap (B \cup C)$
c) $A \cup (B \cap C)$
d) $A \cup B \cup C$
Passo 1: Todas as operações estão definidas corretamente.
Resposta: D.
Passo 1: $(A \cap B) \cap C$ está contido em $A$, que tem 2 elementos.
Passo 2: Portanto, o número máximo é 2.
Resposta: B.
a) $A - B$
b) $B - A$
c) $C - B$
d) $(A \cup C) - B$
e) $A - (B \cap C)$
f) $(A \cup B) - (A \cap C)$
Passo 1: a) $A - B = \{a, b\}$; b) $B - A = \{e, f, g\}$; c) $C - B = \{b\}$; d) $A \cup C = \{a, b, c, d, e, g\}$, menos $B$ = $\{a, b\}$; e) $B \cap C = \{d, e, g\}$, $A - (B \cap C) = \{a, b, c\}$; f) $A \cup B = \{a, b, c, d, e, f, g\}$, $A \cap C = \{b, d\}$, diferença = $\{a, c, e, f, g\}$.
Resposta: A.
Passo 1: $A - B = \{x \in A \mid x \notin B\}$.
Passo 2: Todo elemento de $A - B$ pertence a $A$, logo $(A - B) \subset A$.
Resposta: D.
a) $(A - B) \subset A$
b) $(A - B) \cup (A \cap B) = A$
c) $(A - B) \subset B$
d) $(A - B) \subset (A \cup B)$
Passo 1: a) V, b) V (pois $(A - B) \cup (A \cap B) = A$), c) F, d) V.
Resposta: A.
Passo 1: $B \cap C = \{2, 4\}$.
Passo 2: $A - X = \{2, 4\}$, então $X = A - \{2, 4\} = \{1, 3, 5\}$.
Resposta: B.
a) $A - B$
b) $\overline{A \cup B}$
c) $\overline{A}$
d) $A \cup B$
e) $A \cap B$
f) $B \cap A$
Passo 1: $A \cap B$ e $B \cap A$ são iguais pela comutatividade.
Resposta: C.
Passo 1: $A - B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \notin B\}$.
Passo 2: $A \cap \overline{B} = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in \overline{B}\} = \{x \mid x \in A \text{ e } x \notin B\}$.
Passo 3: São iguais.
Resposta: D.
a) $(A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)$
b) $A \subset B \Rightarrow \overline{B} \subset \overline{A}$
c) $(A - B) \subset \overline{A}$
d) $(A - B) \subset \overline{B}$
Passo 1: a) V (diferença simétrica). b) V (contrapositiva). c) F, d) V.
Resposta: A.
Passo 1: $y+1 \le 6 \Rightarrow y \le 5$.
Passo 2: $F = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
Passo 3: $\overline{F} = E - F = \{6, 7, 8\}$.
Resposta: C.
Passo 1: Total de entrevistados: 1 000.
Passo 2: 200 não rejeitam nenhum partido. Logo, $n(A \cup B) = 1000 - 200 = 800$.
Passo 3: Pelo princípio da inclusão-exclusão: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
Passo 4: $800 = 600 + 500 - n(A \cap B) \Rightarrow n(A \cap B) = 1100 - 800 = 300$.
Resposta: D. 300 pessoas rejeitam ambos os partidos.
a) $a \in E$
b) $\{a\} \in E$
c) $a \subset E$
d) $\{a\} \subset E$
e) $\varnothing \in E$
f) $\varnothing \subset E$
Passo 1: a) $a \in E$ (V); b) $\{a\} \in E$ (V); c) $a \subset E$ (F, pois $a$ não é conjunto); d) $\{a\} \subset E$ (V, pois $a \in E$); e) $\varnothing \in E$ (F); f) $\varnothing \subset E$ (V).
Passo 2: Portanto, verdadeiras: a, b, d, f.
Resposta: C.
Passo 1: A fórmula é conhecida e correta.
Resposta: A.
Passo 1: $n(A \cup B) = 4 + 5 - 3 = 6$.
Passo 2: Número de subconjuntos = $2^6 = 64$.
Resposta: C.
| Marca | A | B | C | A e B | B e C | C e A | A, B e C | Nenhuma |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Consumidores | 109 | 203 | 162 | 25 | 41 | 28 | 5 | 115 |
Determine o número de pessoas consultadas.
Passo 1 – Distribuição no diagrama de Venn:
- Apenas A: $109 - 25 - 28 + 5 = 61$
- Apenas B: $203 - 25 - 41 + 5 = 142$
- Apenas C: $162 - 28 - 41 + 5 = 98$
- $A \cap B$ (apenas): $25 - 5 = 20$
- $A \cap C$ (apenas): $28 - 5 = 23$
- $B \cap C$ (apenas): $41 - 5 = 36$
- $A \cap B \cap C$: $5$
- Nenhuma: $115$
Passo 2 – Soma: $61+142+98+20+23+36+5+115 = 500$
Resposta: A.