Introdução às Funções

Introdução às Funções – 28 Exercícios Resolvidos

📊 Desempenho 0 / 28 acertos Nota: 0,0

📖 Teoria – Funções

Definição e propriedades

Função: relação $ f: A \to B $ onde cada $ x \in A $ tem um único $ y \in B $ tal que $ (x,y) \in f $.
Domínio: conjunto de partida $ A $.
Contradomínio: conjunto de chegada $ B $.
Imagem: $ \operatorname{Im}(f) = \{ f(x) \mid x \in A \} \subset B $.
Teste da vertical: toda reta vertical corta o gráfico em no máximo um ponto.
Funções iguais: mesmo domínio, mesmo contradomínio e mesma regra.

📝 Exercícios (01 a 28)

01Qual dos esquemas de flechas define uma função de A={-1,0,1,2} em B={-2,-1,0,1,2,3}? (figura: apenas a letra c)

(A) a) – nem todo elemento de A tem flecha

(B) b) – um elemento tem duas flechas

(D) d) – faltam elementos

(E) Nenhum

Resolução

Para ser função, cada elemento de A deve ter uma única flecha. Apenas c satisfaz.

02Quais esquemas definem função de A={0,1,2} em B={-1,0,1,2}? (apenas d)

(A) a) e b)

(B) b) e c)

(D) apenas d)

(E) todas

Resolução

Somente d tem todos os elementos de A com uma única flecha para B.

03Quais gráficos representam funções de R em R? (a, d, e)

(A) a, d, e

(B) b, c, f

(D) b, d, f

(E) todas

Resolução

Pelo teste da vertical, apenas a, d e e são funções.

04Notação das funções de R em R: a) oposto b) cubo c) quadrado menos 1 d) constante 2

(A) a) $f(x)=-x$; b) $g(x)=x^3$; c) $h(x)=x^2-1$; d) $k(x)=2$

(B) a) $f(x)=x$; b) $g(x)=x^3$; c) $h(x)=x^2+1$; d) $k(x)=2x$

(D) a) $f(x)=1/x$; b) $g(x)=x^3$; c) $h(x)=x^2-1$; d) $k(x)=2$

(E) a) $f(x)=-x$; b) $g(x)=x^3$; c) $h(x)=x^2$; d) $k(x)=0$

Resolução

Oposto: $-x$; cubo: $x^3$; quadrado menos 1: $x^2-1$; constante 2: $2$.

05Notação: a) f: Q→Q, x↦-x+1; b) g: Z→Q, x↦2^x; c) h: R*→R, x↦1/x.

(A) a) $f(x)=-x$; b) $g(x)=2x$; c) $h(x)=x$

(B) a) $f(x)=-x+1$; b) $g(x)=2^x$; c) $h(x)=1/x$

(D) a) $f(x)=1-x$; b) $g(x)=2^x$; c) $h(x)=x^{-1}$

(E) a) $f(x)=-x+1$; b) $g(x)=2x$; c) $h(x)=1/x$

Resolução

a) oposto +1 ⇒ $-x+1$; b) potência de base 2 ⇒ $2^x$; c) inverso ⇒ $1/x$.

06$f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}, f(x)=3x-2$. Calcule $f(2), f(-3), f(0), f(3/2)$.

(A) 4, -11, -2, 2.5

(B) 4, -11, -2, não definido

(D) 1, -11, -2, 0

(E) 4, -11, 2, não definido

Resolução

$f(2)=4$; $f(-3)=-11$; $f(0)=-2$; $3/2\notin\mathbb{Z}$, então não está definido.

07$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2-3x+4$. Calcule $f(2), f(-1), f(1/2), f(-1/3), f(\sqrt3), f(1-\sqrt2)$.

(A) $2, 8, 11/4, 46/9, 7-3\sqrt3, 4+\sqrt2$

(B) $2, 8, 11/4, 46/9, 7+3\sqrt3, 4-\sqrt2$

(D) $2, 8, 11/4, 46/9, 7-\sqrt3, 4-\sqrt2$

(E) $2, 8, 11/4, 46/9, 7-3\sqrt3, 4+\sqrt2$

Resolução

$f(2)=4-6+4=2$; $f(-1)=1+3+4=8$; $f(1/2)=1/4-3/2+4=11/4$; $f(-1/3)=1/9+1+4=46/9$; $f(\sqrt3)=3-3\sqrt3+4=7-3\sqrt3$; $f(1-\sqrt2)= (1-2\sqrt2+2) -3+3\sqrt2+4 = 4+\sqrt2$.

08Seja $P$ o único número natural que é primo e par. Sendo $f(x)=(0,25)^{-x}+x-1$, determine $f(P)$.

(A) $16$

(B) $15$

(D) $17$

(E) $20$

Resolução

$P=2$. $(0,25)^{-2} = (1/4)^{-2} = 4^2 = 16$. $f(2)=16+2-1=17$.

09$f(x)=\begin{cases}1,& x\in\mathbb{Q}\\ x+1,& x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$. Calcule $f(3), f(-3/7), f(\sqrt2), f(\sqrt4), f(\sqrt3-1), f(0,75)$.

(A) $1, 1, 1+\sqrt2, 3, \sqrt3, 1$

(B) $1, 1, 1+\sqrt2, 1, \sqrt3, 1$

(D) $1, 1, 1+\sqrt2, 1, \sqrt3, 1$

(E) $1, 1, \sqrt2, 1, \sqrt3, 1$

Resolução

Racionais: 3, -3/7, √4=2, 0,75 → f=1. Irracionais: √2, √3-1 → f=x+1. Logo: 1,1,1+√2,1,√3,1.

10$f(x)=\frac{2x-3}{5}$. Qual elemento do domínio tem imagem $-3/4$?

(A) $3/8$

(B) $-3/8$

(D) $3/8$

(E) $0$

Resolução

$\frac{2x-3}{5} = -\frac{3}{4} \Rightarrow 8x-12 = -15 \Rightarrow 8x = -3 \Rightarrow x = -3/8$.

11$f:\mathbb{R}-\{1\}\to\mathbb{R}, f(x)=\frac{3x+2}{x-1}$. Qual elemento tem imagem 2?

(A) $-4$

(B) $4$

(D) $-2$

(E) $2$

Resolução

$\frac{3x+2}{x-1}=2 \Rightarrow 3x+2=2x-2 \Rightarrow x=-4$.

12$f(x)=x^2-5x+9$. Quais valores de $x$ produzem imagem 3?

(A) $x=2$ ou $x=3$

(B) $x=2$ ou $x=3$

(D) $x=5$ ou $x=0$

(E) $x=3$ ou $x=4$

Resolução

$x^2-5x+9=3 \Rightarrow x^2-5x+6=0 \Rightarrow x=2$ ou $x=3$.

13$f(3x)=3f(x)$. Se $f(9)=45$, calcule $f(1)$.

(A) $1$

(B) $3$

(D) $5$

(E) $15$

Resolução

$f(9)=f(3\cdot3)=3f(3)=45 \Rightarrow f(3)=15$. $f(3)=f(3\cdot1)=3f(1)=15 \Rightarrow f(1)=5$.

14$f(mx)=m f(x)$. Calcule $f(0)$.

(A) $0$ sempre

(B) $0$ para $m\neq1$; qualquer valor para $m=1$

(D) indeterminado

(E) $f(0)=0$

Resolução

Fazendo $x=0$: $f(0)=m f(0) \Rightarrow (m-1)f(0)=0$. Se $m\neq1$, $f(0)=0$; se $m=1$, qualquer valor.

15$f(x)f(y)=f(x+y)$, $f(1)=2$, $f(\sqrt2)=4$. Calcule $f(3+\sqrt2)$.

(A) $8$

(B) $16$

(D) $28$

(E) $32$

Resolução

$f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=4$; $f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=8$; $f(3+\sqrt2)=f(3)f(\sqrt2)=8\cdot4=32$.

16$f(n+1)=2f(n)+3$, $f(0)=0$. Encontre $f(n)$.

(A) $3(2^n-1)$

(B) $3(2^{n+1}-1)$

(D) $3(2^{n-1}-1)$

(E) $2(3^n-1)$

Resolução

Resolvendo a recorrência: $f(1)=3$, $f(2)=9$, $f(3)=21$, ... padrão $3(2^n-1)$. Prova por indução.

17Domínio e imagem de funções (gráficos) – figuras (a) a (d).

(A) a) D={0,1,2}, Im={-1,0,1}

(B) b) D={-1,0,1,2}, Im={1,2}

(D) d) D={-2,0,1,2}, Im={-2,-1,0,2}

(E) Todas as alternativas estão corretas.

Resolução

As figuras correspondem aos domínios e imagens listados.

18Conjunto imagem dos gráficos (a) a (f).

(A) a) {-2,0,2}; b) [-2,2]; c) {1}∪[2,∞); d) R; e) [0,2]∪{4}; f) (-∞,1]

(B) ...

(D) ...

(E) ...

Resolução

Observando os gráficos, as imagens são como descrito.

19Domínio e imagem dos gráficos (a) a (f).

(A) a) D={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}, Im={1,2,3,4,5}; b) D=[-2,3], Im=[-3,2]; c) D=[-2,4], Im=[1,5]; d) D=[-3,5), Im=[1,3); e) D=[-4,4], Im=[-3,5]; f) D=[-3,4), Im={-3,-2,-1,0,1,2,3}

(B) ...

(D) ...

(E) ...

Resolução

Leitura dos gráficos: domínio = projeção no eixo x, imagem = projeção no eixo y.

20Dê o domínio: a) $f(x)=3x+2$; b) $g(x)=1/(x+2)$; c) $h(x)=(x-1)/(x^2-4)$; d) $p(x)=\sqrt{x-1}$; e) $q(x)=1/\sqrt{x+1}$; f) $r(x)=\sqrt{x+2}/(x-2)$; g) $s(x)=\sqrt[3]{2x-1}$; h) $t(x)=1/\sqrt{2x+3}$; i) $u(x)=\sqrt[3]{x+2}/(x-3)$.

(A) a) R; b) R\{-2}; c) R\{±2}; d) [1,∞); e) (-1,∞); f) [-2,∞)\{2}; g) R; h) (-3/2,∞); i) R\{3}

(B) a) R; b) R\{-2}; c) R\{±2}; d) [1,∞); e) (-1,∞); f) [-2,∞)\{2}; g) R; h) (-3/2,∞); i) R\{3}

(D) a) R; b) R\{-2}; c) R\{±2}; d) [1,∞); e) (-1,∞); f) (-2,∞)\{2}; g) R; h) [-3/2,∞); i) R\{3}

(E) a) R; b) R\{2}; c) R\{±2}; d) [1,∞); e) (-1,∞); f) [-2,∞)\{2}; g) R; h) (-3/2,∞); i) R\{3}

Resolução

Denominadores não nulos, radicandos não negativos (para raiz quadrada), raiz cúbica sempre definida.

21Sendo $x\ge4$, determine a imagem de $y=\sqrt{x}+\sqrt{x-4}$.

(A) $[2,\infty)$

(B) $[4,\infty)$

(D) $[0,\infty)$

(E) $[2,\infty)$

Resolução

Para $x=4$, $y=2$. A função é crescente, então imagem $[2,\infty)$.

22Dado $f:D\subset A\to B$, e $D\subset A$, imagem de $D$ é $f=\{y\in B\mid \exists x\in D, f(x)=y\}$. Para $g$ no gráfico [5,9], determine $g([5,9])$.

(A) $[2,6]$

(B) $[5,9]$

(D) $[1,6]$

(E) $[3,7]$

Resolução

Observando o gráfico, para $x\in[5,9]$, $y$ assume valores de 2 a 6.

23$f,g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, $g(y)=y^3$, $h(z)=z^3$. Quais são iguais?

(A) Todas são iguais.

(B) Apenas f e g.

(D) Apenas f e h.

(E) Nenhuma é igual.

Resolução

Mesmo domínio, contradomínio e regra $x\mapsto x^3$; a variável é muda.

24$f(x)=\sqrt{x^2}$ e $g(x)=x$ são iguais?

(A) Sim, para todo $x$.

(B) Não, pois $\sqrt{x^2}=|x|$, que é diferente de $x$ para $x<0 div="">

(D) Não, porque os domínios são diferentes.

(E) Sim, pois $\sqrt{x^2}=x$.

Resolução

$\sqrt{x^2}=|x|$, que não é igual a $x$ para $x<0 iguais.="" n="" o="" p="" portanto="" s="">

25$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ e $g(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ podem ser iguais?

(A) Sim, para $x>1$.

(B) Não, nunca.

(D) Sim, apenas para $x\ge1$ (e $x\neq -1$).

(E) Sim, para todo $x\neq -1$.

Resolução

Domínio de $f$: $x>1$ ou $x\le -1$. Domínio de $g$: $x\ge0$ e $\sqrt{x}+1\neq0$ (sempre). Interseção: $x>1$. Para $x>1$, as expressões coincidem.

26$f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x^2-x}}$ e $g(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x^2-x}}$ são iguais em $A=\{x\in R | -1\le x\le 0 \text{ ou } x>1\}$?

(A) Sim, pois têm o mesmo domínio e as expressões são iguais.

(B) Não, os domínios são diferentes.

(D) Não, porque $g$ não está definida para $x<0 div="">

(E) Não, porque $f$ não está definida para $x>1$.

Resolução

Em $A$, $\sqrt{x^2-x} = \sqrt{x(x-1)}$ e a igualdade vale.

27$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1$ e $g:\mathbb{R}-\{1\}\to\mathbb{R}, g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ são iguais?

(A) Sim, pois $x+1 = \frac{x^2-1}{x-1}$ para todo $x$.

(B) Não, porque $f$ não é definida em $x=1$.

(D) Sim, para $x\neq1$.

(E) Sim, para todo $x$.

Resolução

$g(x)=x+1$ para $x\neq1$, mas $g$ não está definida em $1$, enquanto $f$ está. Portanto, não são iguais.

28Teste da vertical: qual gráfico NÃO representa uma função? (figura com curvas)

(A) Aquele em que uma reta vertical corta em dois pontos.

(B) Aquele em que toda reta vertical corta em um ponto.

(D) Aquele que é uma parábola.

(E) Todos representam funções.

Resolução

Se uma vertical corta em mais de um ponto, a relação não é função.

Provas Comentadas para Concursos Militares

Introdução às Funções

Introdução às Funções
28 Exercícios Resolvidos