Para encontrar os valores reais de $a$ e $b$, podemos utilizar as propriedades das raízes do divisor e o **Teorema do Resto**.
Por hipótese, o polinômio $p(x)$ pode ser escrito na forma:
$$p(x) = q(x)(x^2 - x + 1) + (2x + 1)$$
Onde $q(x)$ é o quociente da divisão e $2x + 1$ é o resto.
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### Passo 1: Analisar as raízes do divisor
Seja $\omega$ uma raiz complexa de $x^2 - x + 1 = 0$. Então, temos:
$$\omega^2 - \omega + 1 = 0 \implies \omega^2 = \omega - 1$$
Multiplicando ambos os lados por $(\omega + 1)$, obtemos uma identidade notável:
$$(\omega + 1)(\omega^2 - \omega + 1) = 0$$
$$\omega^3 + 1 = 0 \implies \omega^3 = -1$$
Consequentemente, elevando ao quadrado:
$$\omega^6 = 1$$
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### Passo 2: Substituir a raiz $\omega$ em $p(x)$
Como $\omega$ anula o divisor $x^2 - x + 1$, ao avaliarmos $p(\omega)$ na equação da divisão, o termo com $q(\omega)$ é zerado:
$$p(\omega) = q(\omega) \cdot 0 + (2\omega + 1) \implies p(\omega) = 2\omega + 1$$
Agora, vamos calcular $p(\omega)$ diretamente a partir da expressão original de $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$:
$$p(\omega) = \omega^{57} + a\omega^{14} + b\omega^7 + 1$$
Simplificamos as potências de $\omega$ utilizando as relações $\omega^3 = -1$ e $\omega^6 = 1$:
* **$\omega^{57}$:** $(\omega^3)^{19} = (-1)^{19} = -1$
* **$\omega^{14}$:** $(\omega^6)^2 \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2 = \omega - 1$
* **$\omega^7$:** $\omega^6 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$
Substituindo esses valores simplificados de volta em $p(\omega)$:
$$p(\omega) = -1 + a(\omega - 1) + b\omega + 1$$
$$p(\omega) = a\omega - a + b\omega$$
$$p(\omega) = (a + b)\omega - a$$
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### Passo 3: Igualar as duas expressões de $p(\omega)$
Igualando o resultado obtido ao resto correspondente:
$$(a + b)\omega - a = 2\omega + 1$$
Como $a$ e $b$ são números reais e $\omega$ é um número complexo não real (com parte imaginária diferente de zero), podemos igualar os coeficientes de $\omega$ e os termos constantes de ambos os lados da equação:
1. **Termo constante:**
$$-a = 1 \implies a = -1$$
2. **Coeficiente de $\omega$:**
$$a + b = 2$$
Substituindo $a = -1$ na segunda equação:
$$-1 + b = 2 \implies b = 3$$
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### Conclusão
Os valores reais de $a$ e $b$ que satisfazem as condições do problema são:
* **$a = -1$**
* **$b = 3$**
**Questão 2.** Seja $E$ uma elipse com eixo focal no eixo $O_x$ do sistema de coordenadas cartesiano. O centro de $E$ é o ponto $(r, 0)$, com $r > 0$, sua excentricidade é $\frac{\sqrt{2}}{2}$, e seu semieixo maior mede $\sqrt{2}$. Considerando os pontos $(x,y) \in E$, determine o valor de $r$ para que $\frac{y}{x}$ tenha valor máximo igual a $1$.
Para resolver essa questão, vamos modelar a elipse $E$ e, em seguida, analisar geometricamente e algebricamente a condição sobre o valor máximo de $\frac{y}{x}$.
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### Passo 1: Determinar a equação da elipse $E$
A elipse $E$ possui as seguintes características:
* **Eixo focal** sobre o eixo $O_x$ (horizontal).
* **Centro** no ponto $(r, 0)$, com $r > 0$.
* **Semieixo maior** $a = \sqrt{2}$. Como o eixo focal é horizontal, o semieixo maior está ao longo da direção de $x$.
* **Excentricidade** $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Sabemos que a excentricidade é dada por $e = \frac{c}{a}$, onde $c$ é a semidistância focal. Assim:
$$\frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies c = 1$$
Pela relação fundamental da elipse ($a^2 = b^2 + c^2$), encontramos o semieixo menor $b$:
$$(\sqrt{2})^2 = b^2 + 1^2 \implies 2 = b^2 + 1 \implies b^2 = 1 \implies b = 1$$
Com o centro em $(r, 0)$, a equação da elipse $E$ é dada por:
$$\frac{(x - r)^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$$
Multiplicando toda a equação por 2, temos:
$$(x - r)^2 + 2y^2 = 2$$
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### Passo 2: Interpretação geométrica da razão $\frac{y}{x}$
A expressão $\frac{y}{x}$ representa o **coeficiente angular (declividade) $m$** da reta que passa pela origem $(0,0)$ e por um ponto $(x, y)$ pertencente à elipse.
Queremos encontrar o valor de $r$ para que o valor máximo de $m = \frac{y}{x}$ seja igual a $1$.
O valor máximo de $m$ ocorre justamente quando a reta $y = mx$ é **tangente** à elipse no primeiro quadrante (com inclinação positiva). Como o valor máximo dessa inclinação deve ser exatamente $1$, a reta tangente correspondente a esse máximo é:
$$y = 1 \cdot x \implies y = x$$
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### Passo 3: Condição de tangência
Substituímos $y = x$ na equação da elipse para encontrar os pontos de interseção. Para que a reta seja tangente, a equação de segundo grau resultante deve possuir **exatamente uma solução** (ou seja, o discriminante $\Delta$ deve ser igual a zero).
Substituindo $y = x$ em $(x - r)^2 + 2y^2 = 2$:
$$(x - r)^2 + 2x^2 = 2$$
$$x^2 - 2rx + r^2 + 2x^2 - 2 = 0$$
$$3x^2 - 2rx + (r^2 - 2) = 0$$
Para que a reta seja tangente à elipse, o discriminante $\Delta$ dessa equação quadrática em $x$ deve ser igual a zero:
$$\Delta = B^2 - 4AC = 0$$
$$(-2r)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (r^2 - 2) = 0$$
$$4r^2 - 12(r^2 - 2) = 0$$
$$4r^2 - 12r^2 + 24 = 0$$
$$-8r^2 = -24$$
$$r^2 = 3$$
Como o enunciado especifica que $r > 0$:
$$r = \sqrt{3}$$
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### Conclusão
O valor de $r$ para que o valor máximo de $\frac{y}{x}$ seja igual a $1$ é **$r = \sqrt{3}$**.
Aqui está a transcrição fiel da imagem, seguida da resolução detalhada do problema.
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**Questão 3.** Sejam $\alpha, \beta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ tais que
$$\operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{4} \quad \text{e} \quad \operatorname{sen}(\alpha) - 2\operatorname{sen}(\beta) + \cos(\beta) = \frac{3}{4}.$$
Calcule o valor de $\operatorname{sen}(\alpha + \beta)$.
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### Solução da Questão
Queremos calcular o valor de $\operatorname{sen}(\alpha + \beta)$, cuja identidade trigonométrica é:
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\operatorname{sen}(\beta)$$
#### Passo 1: Simplificar o sistema de equações dado
Temos as seguintes equações:
1. $$\operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{4}$$
2. $$\operatorname{sen}(\alpha) - 2\operatorname{sen}(\beta) + \cos(\beta) = \frac{3}{4}$$
Podemos reescrever a Equação (2) agrupando os termos para fazer surgir a Equação (1):
$$(\operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta)) - \operatorname{sen}(\beta) + \cos(\beta) = \frac{3}{4}$$
Substituindo o valor da Equação (1), que é $\frac{1}{4}$:
$$\frac{1}{4} - \operatorname{sen}(\beta) + \cos(\beta) = \frac{3}{4}$$
$$\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$$
$$\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{2}$$
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#### Passo 2: Encontrar os valores de $\operatorname{sen}(\beta)$ e $\cos(\beta)$
Para resolver a equação $\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{2}$, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
$$(\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta))^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$$
$$\cos^2(\beta) - 2\operatorname{sen}(\beta)\cos(\beta) + \operatorname{sen^2}(\beta) = \frac{1}{4}$$
Sabendo que $\operatorname{sen^2}(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$:
$$1 - 2\operatorname{sen}(\beta)\cos(\beta) = \frac{1}{4}$$
$$2\operatorname{sen}(\beta)\cos(\beta) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
Agora, precisamos determinar individualmente os valores de $\operatorname{sen}(\beta)$ e $\cos(\beta)$. Sabemos que:
$$\cos(\beta) = \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{2}$$
Substituindo isso na identidade fundamental $\operatorname{sen^2}(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$:
$$\operatorname{sen^2}(\beta) + \left(\operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{2}\right)^2 = 1$$
$$\operatorname{sen^2}(\beta) + \operatorname{sen^2}(\beta) + \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{4} = 1$$
$$2\operatorname{sen^2}(\beta) + \operatorname{sen}(\beta) - \frac{3}{4} = 0$$
Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar a fração:
$$8\operatorname{sen^2}(\beta) + 4\operatorname{sen}(\beta) - 3 = 0$$
Resolvendo a equação de segundo grau para $\operatorname{sen}(\beta)$ usando a fórmula de Bhaskara:
$$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 16 + 96 = 112$$
$$\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-4 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{7}}{16} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{4}$$
Como o enunciado diz que $\beta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ (segundo e terceiro quadrantes), vamos analisar a restrição:
Se $\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{2} > 0$, significa que $\cos(\beta) > \operatorname{sen}(\beta)$.
Nos quadrantes dados (II e III), o cosseno é sempre negativo. Para que um número negativo seja maior que o seno, o seno obrigatoriamente deve ser "mais negativo" ainda. Portanto, $\beta$ está no terceiro quadrante, onde ambos são negativos.
Assim, escolhemos o valor negativo para o seno:
$$\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4}$$
Consequentemente, determinamos $\cos(\beta)$:
$$\cos(\beta) = \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{2} = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$$
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#### Passo 3: Encontrar os valores de $\operatorname{sen}(\alpha)$ e $\cos(\alpha)$
Utilizando a Equação (1), encontramos $\operatorname{sen}(\alpha)$:
$$\operatorname{sen}(\alpha) = \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{4} = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{\sqrt{7}}{4}$$
Como $\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ e seu seno é negativo ($-\frac{\sqrt{7}}{4}$), $\alpha$ também está no terceiro quadrante. Portanto, seu cosseno deve ser negativo.
$$\cos^2(\alpha) = 1 - \operatorname{sen^2}(\alpha) = 1 - \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$$
$$\cos(\alpha) = -\frac{3}{4}$$
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#### Passo 4: Calcular $\operatorname{sen}(\alpha + \beta)$
Agora substituímos os quatro valores encontrados na fórmula da soma de arcos:
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \operatorname{sen}(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\operatorname{sen}(\beta)$$
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(\frac{1 - \sqrt{7}}{4}\right) + \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{-1 - \sqrt{7}}{4}\right)$$
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \frac{-\sqrt{7} + 7}{16} + \frac{3 + 3\sqrt{7}}{16}$$
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \frac{7 + 3 - \sqrt{7} + 3\sqrt{7}}{16}$$
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \frac{10 + 2\sqrt{7}}{16}$$
Simplificando a fração por 2:
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$$
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### Resposta Final
$$\operatorname{sen}(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$$
--- ### Solução da Questão A circunferência descrita no enunciado é a **circunferência exinscrita** ao triângulo $ABC$ em relação ao lado $\overline{BC}$ (também chamada de circunferência exinscrita relativa ao vértice $A$). O raio dessa circunferência é denotado como $r_a$. Existe uma relação geométrica direta entre a área do triângulo ($S$), o seu semiperímetro ($p$) e o raio da circunferência exinscrita ($r_a$): $$S = r_a \cdot (p - a)$$ Onde $a$ é o comprimento do lado tangenciado pelo arco da circunferência (neste caso, $a = m(\overline{BC}) = 14$). #### Passo 1: Calcular o semiperímetro ($p$) do triângulo Os lados do triângulo são $a = 14$, $b = 10$ e $c = 6$. O semiperímetro é a metade do perímetro total: $$p = \frac{a + b + c}{2}$$ $$p = \frac{14 + 10 + 6}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ #### Passo 2: Calcular a área ($S$) do triângulo usando a Fórmula de Heron A Fórmula de Heron nos dá a área de um triângulo a partir de seus lados e do semiperímetro: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$ Substituindo os valores conhecidos: $$S = \sqrt{15 \cdot (15 - 14) \cdot (15 - 10) \cdot (15 - 6)}$$ $$S = \sqrt{15 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 9}$$ $$S = \sqrt{675}$$ Podemos simplificar a raiz fatorando 675: $$675 = 225 \cdot 3 = 15^2 \cdot 3$$ $$S = 15\sqrt{3}$$ #### Passo 3: Calcular o raio da circunferência exinscrita ($r_a$) Utilizando a relação $S = r_a \cdot (p - a)$: $$15\sqrt{3} = r_a \cdot (15 - 14)$$ $$15\sqrt{3} = r_a \cdot 1$$ $$r_a = 15\sqrt{3}$$ --- ### Resposta Final O raio da circunferência externa que cumpre as condições dadas mede **$15\sqrt{3}$**. Aqui está a transcrição fiel da imagem, seguida da resolução completa da questão. --- **Questão 5.** Usando as aproximações $\log_{10} 2 = 0,3010$, $\log_{10} 3 = 0,4771$ e $\log_{10} 7 = 0,8450$, determine o primeiro algarismo (da esquerda para a direita) do resultado de $3^{100}$. --- ### Solução da Questão Para encontrar o primeiro algarismo de um número muito grande como $3^{100}$, podemos escrevê-lo na forma de notação científica, ou seja, como $k \cdot 10^n$, onde $1 \le k < 10$ e $n$ é um número inteiro. O primeiro algarismo do número será a parte inteira de $k$. Para isso, aplicamos o logaritmo na base 10: #### Passo 1: Calcular o logaritmo de $3^{100}$ Seja $x = 3^{100}$. Aplicando $\log_{10}$: $$\log_{10} x = \log_{10}(3^{100})$$ Utilizando a propriedade do peteleco ($\log(a^b) = b \cdot \log a$): $$\log_{10} x = 100 \cdot \log_{10} 3$$ Substituindo o valor dado de $\log_{10} 3 = 0,4771$: $$\log_{10} x = 100 \cdot 0,4771 = 47,71$$ --- #### Passo 2: Decompor o logaritmo em partes inteira e decimal Podemos separar o resultado em sua característica (parte inteira) e mantissa (parte decimal): $$\log_{10} x = 47 + 0,71$$ Agora, aplicamos a função inversa do logaritmo (exponencial de base 10) em ambos os lados: $$x = 10^{47 + 0,71}$$ $$x = 10^{0,71} \cdot 10^{47}$$ O termo $10^{47}$ define apenas a quantidade de zeros ou a ordem de grandeza (o número terá 48 dígitos). O primeiro algarismo da esquerda será determinado exclusivamente pelo valor de **$10^{0,71}$**. --- #### Passo 3: Limitar o valor de $10^{0,71}$ usando os dados fornecidos Precisamos descobrir entre quais potências inteiras de base 10 o número $10^{0,71}$ se encontra. Em termos de logaritmo, queremos saber entre quais logaritmos de números inteiros vizinhos o valor $0,71$ está situado. Vamos analisar os logaritmos conhecidos ou fáceis de calcular: * $\log_{10} 2 = 0,3010$ * $\log_{10} 3 = 0,4771$ * $\log_{10} 4 = \log_{10}(2^2) = 2 \cdot \log_{10} 2 = 2 \cdot 0,3010 = 0,6020$ * $\log_{10} 5 = \log_{10}\left(\frac{10}{2}\right) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0,3010 = 0,6990$ * $\log_{10} 6 = \log_{10}(2 \cdot 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781$ Note que o nosso valor $0,71$ está compreendido exatamente entre os logaritmos de 5 e de 6: $$\log_{10} 5 < 0,71 < \log_{10} 6$$ $$0,6990 < 0,71 < 0,7781$$ Elevando 10 a cada membro da desigualdade: $$5 < 10^{0,71} < 6$$ --- ### Conclusão Como $10^{0,71}$ é um número da forma $5, \dots$, ao multiplicá-lo por $10^{47}$, o número resultante começará com o dígito 5 seguido de outros algarismos. Portanto, o primeiro algarismo da esquerda para a direita de $3^{100}$ é **5**.
**Soma das raízes:** $$\alpha + \alpha + \beta = -a \implies 2\alpha + \beta = -a$$ 2. **Soma dos produtos das raízes duas a duas:** $$\alpha^2 + \alpha\beta + \alpha\beta = 0 \implies \alpha^2 + 2\alpha\beta = 0 \implies \alpha(\alpha + 2\beta) = 0$$ 3. **Produto das raízes:** $$\alpha^2\beta = -b \implies b = -\alpha^2\beta$$ Analisando a segunda relação, $\alpha(\alpha + 2\beta) = 0$, temos duas possibilidades: * **Se $\alpha = 0$:** teríamos $b = 0$. Porém, se $b = 0$, os pontos dados em **II** seriam $(x_1, 0)$, $(x_2, 0)$ e $(0, 0)$. Como uma das raízes seria zero, teríamos dois pontos coincidentes na origem, o que impossibilita a formação de um triângulo. Portanto, $\alpha \neq 0$ e $b \neq 0$. * **Se $\alpha + 2\beta = 0$:** temos a relação: $$\alpha = -2\beta \quad (\text{com } \beta \neq 0)$$ Substituindo $\alpha = -2\beta$ nas outras relações, expressamos os coeficientes $a$ e $b$ em função de $\beta$: * $$a = -(2\alpha + \beta) = -[2(-2\beta) + \beta] = 3\beta$$ * $$b = -\alpha^2\beta = -(-2\beta)^2\beta = -4\beta^3$$ Dessa forma, as duas raízes distintas são $x_1 = -2\beta$ e $x_2 = \beta$. --- #### Passo 2: Aplicar a condição do triângulo retângulo Os vértices do triângulo são $P_1 = (-2\beta, 0)$, $P_2 = (\beta, 0)$ e $P_3 = (0, b)$. * Os pontos $P_1$ e $P_2$ estão sobre o eixo $x$ (linha horizontal). * O ponto $P_3 = (0, b)$ está sobre o eixo $y$ (linha vertical), com $b \neq 0$. Para que esses três pontos formem um triângulo retângulo, o ângulo reto só pode estar no vértice $P_3$ (pois se estivesse em $P_1$ ou $P_2$, a reta que os une a $P_3$ teria de ser vertical, o que exigiria $\beta = 0$, uma contradição). Como o ângulo reto está em $P_3$, os vetores $\vec{P_3P_1}$ e $\vec{P_3P_2}$ são perpendiculares. Logo, o produto escalar entre eles é igual a zero: $$\vec{P_3P_1} = (-2\beta, -b) \quad \text{e} \quad \vec{P_3P_2} = (\beta, -b)$$ $$\vec{P_3P_1} \cdot \vec{P_3P_2} = 0 \implies (-2\beta)(\beta) + (-b)(-b) = 0$$ $$-2\beta^2 + b^2 = 0 \implies b^2 = 2\beta^2$$ --- #### Passo 3: Determinar o valor de $\beta$ Substituindo $b = -4\beta^3$ na equação $b^2 = 2\beta^2$: $$(-4\beta^3)^2 = 2\beta^2 \implies 16\beta^6 = 2\beta^2$$ Como $\beta \neq 0$, podemos dividir ambos os lados por $2\beta^2$: $$8\beta^4 = 1 \implies \beta^4 = \frac{1}{8}$$ Como procuramos valores reais para os coeficientes $a$ e $b$, a raiz $\beta$ deve ser real: $$\beta^2 = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ Logo, temos dois valores possíveis para $\beta$: $$\beta = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$$ --- #### Passo 4: Calcular os valores de $a$ e $b$ * **Caso 1: $\beta = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$** * $$a = 3\beta = \frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$$ * $$b = -4\beta^3 = -4 \left(\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\right)^3 = -4 \cdot \frac{\sqrt[4]{8}}{8} = -\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$$ * **Caso 2: $\beta = -\frac{\sqrt[4]{2}}{2}$** * $$a = 3\beta = -\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$$ * $$b = -4\beta^3 = -4 \left(-\frac{\sqrt[4]{2}}{2}\right)^3 = 4 \cdot \frac{\sqrt[4]{8}}{8} = \frac{\sqrt[4]{8}}{2}$$ --- ### Resposta Final Os pares de valores reais $(a, b)$ que satisfazem as condições são: $$\left(\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}, -\frac{\sqrt[4]{8}}{2}\right) \quad \text{e} \quad \left(-\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}, \frac{\sqrt[4]{8}}{2}\right)$$